1 . ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
นิยาม
กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ
ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian
Product) ของ A และ B คือ
A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B)}
A × B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B)}
ข้อสังเกต
1. ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เป็นเซต
ดังนั้นจึงสามารถพูดถึงนิยามต่างๆ ของเซตได้
2. n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) = n(B × A)
3. A × B เทียบเท่า B × A แต่ A × B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
4. ถ้า A = φ หรือ B = φ จะได้ว่า A × B = φ
2. n(A × B) = n(A) ⋅ n(B) = n(B × A)
3. A × B เทียบเท่า B × A แต่ A × B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
4. ถ้า A = φ หรือ B = φ จะได้ว่า A × B = φ
นิยาม กำหนดให้ A และ
B เป็นเซตใดๆ ความสัมพันธ์จาก A ไป B (Relation from A to B) คือ สับเซตของ A × B
เรียก r ว่าเป็น ความสัมพันธ์ ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก R ไป R
เรียก r ว่าเป็น ความสัมพันธ์บน A ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A
เรียก r ว่าเป็น ความสัมพันธ์บน A ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A
ข้อสังเกต
1. จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A ไป B มีจำนวน
2n(A) ⋅ n(B) ความสัมพันธ์
2. φ และ A × B เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เสมอ
2. φ และ A × B เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เสมอ
นิยาม กำหนดให้ r เป็นความสัมพันธ์ใดๆ
เรานิยาม
โดเมน (Domain) ของ r คือ เซต Dr = {x | มี y ซึ่งทำให้ (x, y) ∈ r}
เรนจ์ (Range) ของ r คือ เซต Rr = {y | มี x ซึ่งทำให้ (x, y) ∈ r}
โดเมน (Domain) ของ r คือ เซต Dr = {x | มี y ซึ่งทำให้ (x, y) ∈ r}
เรนจ์ (Range) ของ r คือ เซต Rr = {y | มี x ซึ่งทำให้ (x, y) ∈ r}
ข้อสังเกต
1. อาจคิดง่ายๆ ได้ว่า โดเมนของ r ก็คือ เซตที่เก็บสมาชิกตำแหน่งแรกของ r และ เรนจ์ของ r ก็คือ
เซตที่เก็บสมาชิกตำแหน่งหลังของ r
2. ในการหาโดเมนของความสัมพันธ์ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป y = f(x) จากนั้นจึงพิจารณาค่า x ที่
เป็นไปได้ทั้งหมด ส่วนในการหาเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป x = g(y) จากนั้นจึง
พิจารณาค่า y ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
เซตที่เก็บสมาชิกตำแหน่งหลังของ r
2. ในการหาโดเมนของความสัมพันธ์ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป y = f(x) จากนั้นจึงพิจารณาค่า x ที่
เป็นไปได้ทั้งหมด ส่วนในการหาเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้น เราจะเขียนสมการในรูป x = g(y) จากนั้นจึง
พิจารณาค่า y ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
นิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ
ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้วสมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย
ข้อสังเกต
เราอาจตรวจสอบว่าการเป็นฟังก์ชันได้โดยใช้กราฟ
กล่าวคือ เมื่อวาดกราฟของความสัมพันธ์แล้วสามารถหาเส้นตรงที่ขนานกับแกน y ที่ตัดกราฟอย่างน้อยสองจุด
จะกล่าวได้ว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชันเพราะจุดตัดที่พบนั้นก็คือ
สมาชิกในความสัมพันธ์ที่มีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน
ฟังก์ชัน ƒ คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x, y) ∈ ƒ และ (x, z) ∈ ƒ แล้ว y = z
2 . ฟังก์ชันประเภทต่างๆ
ฟังก์ชันเชิงเส้น
(Linear Function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R
ฟังก์ชันคงที่
(Constant Function) คือ ฟังก์ชันเชิงเส้นที่มี a = 0 กราฟของฟังก์ชันจะเป็นเส้นตรงขนานกับแกน X
ฟังก์ชันกำลังสอง
(Quadratic Function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R และ a ≠ 0
ถ้า a > 0 กราฟหงาย มีจุดวกกลับเป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน
และถ้า a < 0 กราฟคว่ำ มีจุดวกกลับเป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน
ถ้ารูปทั่วไปของสมการ
คือ f(x) = a(x - h)2 +
k เมื่อ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จุดวกกลับอยู่ที่ (h, k)
การแก้สมการโดยใช้กราฟ
1. ในกรณีที่กราฟไม่ตัดแกน X จะไม่มีคำตอบของสมการที่เป็นจำนวนจริง
2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน X ที่จุด (-c, 0) สมการมีคำตอบเดียว คือ x = -c
กราฟของ y = a(x - c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน X ที่จุด (c, 0) สมการมีคำตอบเดียว คือ x = c
1. ในกรณีที่กราฟไม่ตัดแกน X จะไม่มีคำตอบของสมการที่เป็นจำนวนจริง
2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน X ที่จุด (-c, 0) สมการมีคำตอบเดียว คือ x = -c
กราฟของ y = a(x - c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน X ที่จุด (c, 0) สมการมีคำตอบเดียว คือ x = c
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
(Exponential Function) คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
(Absolute Value
Function) คือ
ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y =
|x - a| + c เมื่อ a, c ∈ R
ฟังก์ชันขั้นบันได
(Step Function) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของ R และมีค่าฟังก์ชันคงตัวเป็นช่วงๆ มากกว่าสองช่วง
กราฟของฟังก์ชันจะมีรูปคล้ายบันได
